自然常数 e 的定义

在数学中，自然常数 $e$ 是一个很常见的数．在高中的数学课本里，只是说明了它是一个无理数，并没有给出它的定义．

但是，$e$ 在高中课本里又无处不在．特别是到了后面导数部分，不弄清楚 $e$ 的定义，就没有办法弄清楚为什么 $e^x$ 和 $\ln(x)$ 的导数为什么那么特殊．

1. e 是增长的极限

我们假设有一家银行，这家银行的活期存款利率是 $100\%$（当然，现实中这是不可能的）．如果我们有 $1$ 块钱，存入银行里，那么一年之后，我可以取出 $2$ 块钱．

但是如果我们勤快一些，半年的时候把钱先取出来一次，这时可以取出 $1\times(1+100\%/2)=1.5$ 块钱．这时我们在把这 $1.5$ 块钱都存入到银行里，半年之后再取出，那么就可以取出 $1.5\times(1+100\%/2)=2.25$ 块钱．这样，我们仅仅时多跑了一次银行，赚到的利息就比原来多了 $25\%$．

如果我们再勤快一些，每个月都进行一次这样的操作，那么一年之后，我们一共能取出 $1\times(1+100\%/12)^{12}\approx2.61$ 块钱．这样我们就可以获得更高的收益了．

假如你不甘心，还想再获取更高的收益，你还可以每天进行一次这样的操作，这样在一年之后，你将获得 $1\times(1+100\%/365)^{365}\approx2.71$ 块钱．我们的收益又多了．

自然地，我们就有一个想法：如果我存取钱的次数足够多，那我的收益是多少？会是无穷多么？

这个问题用数学的语言来描述，就是要求在 $n\to+\infty$ 时，$a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$的极限．

从前面的例子中，我们其实可以看出，当 $n$ 从 $12$ 变到 $265$ 的时候，$a_n$ 的增长比 $n$ 从 $2$ 变到 $12$ 的时候还要小．可以预见，当 $n$ 越来越大的时候，$a_n$ 的增长会越来越小．因此我们可以猜测，$a_n$ 的增长并不是无限的．

事实上，要想严格的证明这个极限是存在的，需要用到下面的定理：

单调收敛定理：单调有界实数列必有极限．

因此，我们只需要证明两个条件：数列 $\{a_n\}$ 单调，且有界．

单调性的证明

由上面的计算可以知道，$a_1=2<a_2=2.25$．

当 $n\geqslant 2$ 时，我们把 $\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$ 展开：

$$\begin{aligned} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n &= \sum_{k=0}^n C_n^k\cdot\frac{1}{n^k} \\[2ex] &= 1+n\cdot\frac{1}{n}+\sum_{k=2}^n \frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k!}\cdot\frac{1}{n^k} \\[2ex] &= 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}\cdot\frac{(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{n^{k-1}} \\[2ex] &= 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \end{aligned}\tag{I}$$

比较 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 的展开式的第 $k$ 项（$2\leqslant k \leqslant n$），注意到 $1-\dfrac{i}{n}<1-\dfrac{i}{n+1}$ 对 $i=1,2,\cdots,k-1$ 恒成立，因此

$$\frac{1}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) < \frac{1}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)$$

而且 $a_{n+1}$ 比 $a_n$ 还多了一项

$$\frac{1}{(n+1)!}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{n}{n+1}\right) > 0$$

因此 $a_n<a_{n+1}$，故数列 $\{a_n\}$ 单调递增．

有界性的证明

我们只需要证明数列 $\{a_n\}$ 有上界．

根据上面 $\{a_n\}$ 展开式 $(\mathrm{I})$，

$$\begin{aligned} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n &= 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right) \\[2ex] &< 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!} \\[2ex] &< 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)} \\[2ex] &= 2+\left(1-\frac{1}{n}\right) \\[2ex] &= 3-\frac{1}{n} \end{aligned}\tag{II}$$

所以可以得到 $a_n<3$ 恒成立，即数列 $\{a_n\}$ 有上界．

在完成了上面两个证明之后，我们知道，数列 $\{a_n\}$ 的极限是 $2$ 和 $3$ 之间的某一个数，于是我们就把它定义为 $e$：

$$e \coloneqq \lim_{n\to+\infty} \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$$

回到前面的情景，这个结论告诉我们，即使我们每时每刻不停的存取，一年之后我们能取出的钱也不会超过三块钱．也就是说，在年增长率不变的情况下，即使是复利，增长也是有极限的．

利用夹逼定理，还可以证明：对于函数的极限，也有 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$．

先考虑 $x\to +\infty$ 的情况；

我们令 $n=\lfloor x\rfloor$，注意到，$n \leqslant x<n +1$，于是有

$$1+\frac{1}{n+1}<1+\frac{1}{x}\leqslant 1+\frac{1}{n}$$

$$\implies \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n} \leqslant \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{x} < \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \leqslant \left(1+\frac{1}{n}\right)^{x} < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

因此

$$\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} &\geqslant \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n} \\[2ex] &= \lim_{n\to +\infty} \left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\frac{n}{n+1}} \\[2ex] &= e^1=e \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} &\leqslant \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} \\[2ex] &= \lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cdot \left(1+\frac{1}{n}\right) \\[2ex] &= e\cdot 1 = e \end{aligned}$$

因此，$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$．

再考虑 $x\to -\infty$ 的情况．

令 $t=-x\to +\infty$，则

$$\begin{aligned} \lim_{x\to -\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} &= \lim_{t\to +\infty} \left(1-\frac{1}{t}\right)^{-t} = \lim_{t\to +\infty} \left(\frac{t}{t-1}\right)^{t} \\[2ex] &= \lim_{t\to +\infty} \left(1+\frac{1}{t-1}\right)^{t} \\[2ex] &= \lim_{t\to +\infty} \left(1+\frac{1}{t-1}\right)^{t-1}\cdot\left(1+\frac{1}{t-1}\right) \\[2ex] &= e\cdot 1 = e \end{aligned}$$

2. e 的展开式

上面对于 $e$ 的定义，比较容易理解，但是有一个缺点，就是计算比较麻烦，收敛速度非常慢．

我们知道，$e\approx 2.718281828$，但是 $a_{10000}\approx 2.71815$，$a_{1000000}\approx 2.718280469$，$a_{100000000}\approx 2.718281815$，也就是说，算到第一亿项的时候，才精确到小数点后第7位．

显然，我们需要一个能够更快收敛到 $e$ 的数列．

为了书写方便，这里我们引入无穷和的记号：

$$\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} a_n\coloneqq a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$$

考虑数列 $s_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$，可以证明：$e= \displaystyle\lim_{n\to+\infty}s_n =\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}$．

先证明数列 $\{s_n\}$ 收敛，且 $e\geqslant\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}$；

对任意的 $m>n\geqslant 2$，根据上面的 $(\mathrm{I})$ 式，

$$\begin{aligned} \left(1+\dfrac{1}{m}\right)^m &= 2+\sum_{k=2}^m \frac{1}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{m}\right)\left(1-\frac{2}{m}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{m}\right) \\[2ex] &> 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{m}\right)\left(1-\frac{2}{m}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{m}\right) \end{aligned}$$

两边同时令 $m\to+\infty$，可得

$$e\geqslant 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}= \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$

根据单调收敛定理，$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!}$ 一定存在．

因此再令 $n\to+\infty$，可得

$$e\geqslant\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}$$

再证明 $e\leqslant \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}$．

注意上面的 $(\mathrm{II})$ 式，在对 $a_n$ 进行放缩的时候，我们得到了

$$\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n < 2+\sum_{k=2}^n \frac{1}{k!} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$

两边同时对 $n$ 取极限，可以得到

$$e\leqslant \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}$$

这样，我们就得到了 $e$ 的展开式：

$$e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}+\cdots$$

用它来计算 $e$ 的话，收敛速度比前面要快的多：

$$\begin{aligned} \sum_{k=0}^{9}\frac{1}{k!} &\approx 2.718281525 \\[2ex] \sum_{k=0}^{12}\frac{1}{k!} &\approx 2.718281828 \end{aligned}$$

3. e 的另一种极限定义

我们知道，$f(x)=e^x$ 的一个重要性质就是 $f'(x)=f(x)$，特别的，$f'(0)=1$．我们也可以利用这一条性质来定义 $e$：

若函数 $y=a^x$ （$a>0$ 且 $a\ne 1$）在 $x=0$ 处的切线斜率为 $1$，即 $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=1$，则 $a=e$．

需要注意是，证明的过程用到了 $y=\log_a x$ 的连续性．

证明 $a=e$．

令 $t=\dfrac{1}{a^x-1}\to \infty$，则 $x=\log_a \left(1+\dfrac{1}{t}\right)$．

$$\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} &= \lim_{t\to 0} \frac{1}{t\log_a \left(1+\frac{1}{t}\right)} \\[2ex] &= \lim_{t\to 0} \frac{1}{\log_a \left(1+\frac{1}{t}\right)^t} \\[2ex] &= \frac{1}{\log_a e} = \log_e a = 1 \end{aligned}$$

因此，$a=e$．

这个定义的一个好处是，可以很容易地求出 $f(x)=e^x$ 的导数：

$$\begin{aligned} f'(x) &=\lim_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\[2ex] &=e^x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h} \\[2ex] &=e^x\cdot 1\\[2ex] &=e^x \end{aligned}$$

4. 总结

可以看到，上面我们用了三种不同的方法来定义 $e$．虽然这些定义表面上看起来不一样，但它们是定义出来的 $e$ 都是一样的．也就是说，这三种方法实质上是等价的．第一种方法有实际的解释，相对比较自然；第二种方法计算简便，而且易于拓展；而第三种方法则方便证明指数函数的分析性质．

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参考资料：

• 《数学分析新讲（第一册）》，张筑生
• Principles of Mathematical Analysis，Walter Rudin
• Calculus: Early Transcendentals，James Stewart